ЕГЭ · профильная математика

Степени и логарифмы: сначала допустимые значения

В логарифме аргумент должен быть положительным, основание — положительным и не равным 1. Эти ограничения проверяют до преобразований и ещё раз после решения.

Редакция ЕГЭ Эспрессо · Обновлено 24 сентября 2026 · 3–4 минуты

Эспро в фиолетовых наушниках помогает спокойно разобраться в теме

Как разобраться

logₐ b = c означает aᶜ = b. Для действительного логарифма a > 0, a ≠ 1, b > 0. Если основания одинаковы и допустимы, из aᵘ = aᵛ следует u = v.

Пример 1

2^(x + 1) = 16

16 = 2⁴, поэтому x + 1 = 4 и x = 3. Проверка: 2⁴ = 16.

На что посмотреть: Сначала представляем обе части с одним основанием, затем сравниваем показатели.

Пример 2

log₂(x − 1) = 3

ОДЗ: x > 1. x − 1 = 2³ = 8, значит x = 9. Значение подходит.

На что посмотреть: Аргумент — всё выражение x − 1, а не только x.

Пример 3

log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3

ОДЗ: x > 3. (x − 1)(x − 3) = 8; x² − 4x − 5 = 0. Получаем 5 и −1, но подходит только x = 5.

На что посмотреть: Положительность произведения не заменяет положительность каждого исходного аргумента.

Попробуй сам

Реши log₃(x + 2) = 2. Запиши ОДЗ и проверь ответ.

Посмотреть ответ и объяснение

x > −2; x + 2 = 9; x = 7. Проверка: log₃ 9 = 2.

Ещё коротко

Бывает логарифм отрицательного числа?

В действительных числах, с которыми работают эти задачи, нет.

Можно сложить логарифмы как аргументы?

Нет: logₐ u + logₐ v = logₐ(uv), если оба аргумента положительны. Это произведение, не сумма.

Для чего нужна ОДЗ?

Она сохраняет смысл исходного выражения и отсеивает посторонние значения после преобразований.

Источник и актуальность

Ориентир по содержанию — документы ФИПИ. На 24.09.2026 материалы 2027 года имеют статус проектов. Примеры на этой странице авторские; мы не выдаём их за официальные задания. После выхода окончательных документов нужна повторная сверка.

ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027

Подготовлено с помощью ИИ; редакционная и автоматизированная предметная проверка. Независимая рецензия преподавателя не заявляется. Подробнее о проверке.

Следующий небольшой шаг

Можно перейти к практике первой части. В приложении проверь выбранные экзамен и предмет; конкретная тема из статьи автоматически не назначается.

Попробовать практику

Рядом с этой темой

ЕГЭ · профильная математика

Вероятность в ЕГЭ: когда складывать, а когда умножать

Для несовместных событий вероятности складывают. Для двух независимых событий вероятность их совместного наступления — произведение вероятностей. Слова «или» и «и» помогают прочитать задачу, но условия всё равно нужно проверить.